√2 Sayısının irrasyonel olduğunu ispatlayacağız, ancak bunu ispatlamadan önce Olmayana Ergi Yöntemiyle İspatın ne olduğunu hatırlayalım;

Olmayana ergi ispat yönteminde kanıtlanmak istenen önermenin yanlış olduğu kabul edilip, kabul edilen ifadenin bir çelişkiye vardığını göstermektir.  Buna göre, sonuç olarak yanlış olan duruma vardığımızdan dolayı verilen önerme doğru olmalıdır. 

 

İspatımız P olsun. 
Kabul edelim ki  ~P olsun;
Bu nedenle, C ∧ ~C olur. Sonuç olarak P önermesi doğrudur.


Şimdi √2 sayısının ispatına gelelim; 

Kabul edelim ki, √2 irrasyonel olmasın, dolayısıyla √2 sayısı rasyoneldir. O halde, √2 sayısı rasyonel ise;   \color{white}{\sqrt{2} =  \frac{a}{b}}   olacak şekilde  \color{white}{a}  ve   \color{white}{b}  ∈  Z  vardır. Burada  \color{white}{\frac{a}{b}} kesri en sade şeklinde olsun. Buna göre  \color{white}{a}  ve  \color{white}{b}  aynı anda çift olamaz. Çünkü aynı anda çift olsalardı pay ve paydadaki 2 çarpanlarını sadeleştirebilirdik.  Şimdi   \color{white}{\sqrt{2} =  \frac{a}{b}}  ifadesinde her iki tarafın karesini alalım;   \color{white}{2 = \frac{a^2}{b^2}}  olur ve buradan da;  \color{white}{a^2=2b^2}  elde edilir.  Burada ise,  \color{white}{a^2}  çift ise  \color{white}{a} çifttir (Burada bunu dolaylı ispat ile kolayca ispatlayabilirsiniz, ben buna değinmeyeceğim) Buna göre,  \color{white}{a}  ve  \color{white}{b}  aynı anda çift olmadığı için  \color{white}{b}  tek olmalıdır. Şimdi,  \color{white}{a}  çift olduğu için  \color{white}{a=2c}  olacak şekilde bir \color{white}{c}  ∈ Z vardır. Burada  \color{white}{a} ‘yı  \color{white}{a^2=2b^2}  ifadesinde yerine  \color{white}{2c}   olarak yazarsak;  \color{white}{(2c)^2=2b^2}     yani  \color{white}{4c^2 = 2b^2}   bulunur. Böylece,  \color{white}{b^2 = 2c}     elde edilir. Buradan sonuç olarak,  \color{white}{b^2}   ve dolayısıyla da  \color{white}{b}  tam sayılarının çift olması anlamına gelir. Ancak daha önceden de  \color{white}{b}  tam sayısının tek olduğu sonucuna varmıştık. Dolayısıyla bu ise bir çelişkidir. Yani,  \color{white}{b}   çifttir ve  \color{white}{b}  tektir çelişkisi elde etmiş olduk. Bu nedenle √2  sayısı irrasyoneldir.