Bağıntılar ve Kartezyen Çarpım (Ders Notları) | Barış USLUCAN Bağıntılar ve Kartezyen Çarpım (Ders Notları)

Bağıntılar ve Kartezyen Çarpım (Ders Notları)

Kartezyen Çarpım

İki objenin sıralı bir şekilde oluşturulup tek bir nesne olarak yazılmasına “Sıralı İkili” denir. x, sıralı ikilinin birinci nesnesi; y, ikinci nesnesi olsun. (x, y) sıralı ikilisi;
(x, y) = (z, c)  ise  x = z,  y = c’dir.

 

Kartezyen Çarpım
Herhangi iki küme tanımlansın. Sıralı ikilinin birinci bileşeni bu kümenin birinden, ikinci bileşeni diğer kümeden olmak üzere; oluşturulan sıralı ikiliye “Kartezyen Çarpım” denir. A ve B birer küme ve A ve B’den oluşturulan kartezyen çarpım “A x B” şeklinde gösterilir.
A x B = {(a, b)} ise  (a ∈ A)   ve   (b ∈ B)’dir.
A x Ø = Ø x A = Ø  (Yutan Eleman)
A x (B x C) = (A x B) x C  (Birleşme)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)  (Dağılma)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) (Dağılma)
s(A) = x,  s(B) = y  olmak üzere,  s(A x B) = x.y’dir.

 

Bağıntı
A ve B birer küme olsun, A x B kartezyen çarpımının bütün alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. “β (Beta)” işareti ile gösterilir.
s(A) = x,  s(B) = y olsun. A’dan B’ye  2xy  tane bağıntı tanımlanabilir.

Örnek: A = {8, 7}  B = {9, 4, 3}  olsun.   Burada A’dan B’ye;  23*2 = 26 = 64 tane bağıntı tanımlanabilir.

 

s(A) = m   ve  s(B) = n  olsun. A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r ≤ m . n) bağıntı sayısı;

Bağıntı 1

Bağıntının tersi tanımlanan bağıntıdaki elemanların yerleri değiştirilerek alınır. β ⊂ A x B olsun, β = {(a, b)} ve (a ∈ A)  ve  (b ∈ B) bağıntısının tersi  β-1 ⊂ B x A dır. β-1 = {(b, a)}‘dır.

Örnek: A = {1, 3},  B = {7, 9} olsun,  A x B = β = {(1, 7), (1, 9), (3, 7), (3, 9)},
Bu durumda,  β-1  = {(7, 1), (9, 1), (7, 3), (9, 3)}’dür.

 

Yansıma Özelliği: A bir küme, ve bütün a elemanları için (a, a) oluşturulan bağıntının elemanı ise, bu bağıntıya “Yansıyan Bağıntı” denir.
∀ a ∈ A olmak üzere, (a, a) ∈ β ise, β yansıyan bir bağıntıdır.

 

Simetri Özelliği: Bir bağıntının her (a, b) elemanları için (b, a) ‘da bu bağıntının elemanı ise bu bağıntıya “Simetrik Bağıntı” denir.
∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ise, β simetrik bir bağıntıdır.
• β simetrik ise, β = β-1 ‘dir ve grafiği de y = x doğrusuna simetriktir.

 

Ters Simetri Özelliği: a ≠ b olmak üzere ∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ise, β bağıntısına “Ters Simetrik Bağıntı” denir.
• Bağıntıda (a, a) elemanının bulunması ters simetrik olma durumunu etkilemez.

 

Geçişme Özelliği: A bir küme ve β, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olmak üzere; ∀[(a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β] için (a, c) ∈ β ise, bu bağıntı geçişme özelliğine sahiptir.
• A kümesi boş kümeden farklı ve A kümesinden tanımlanan β bağıntısı β = Ø bağıntısında yansıma özelliği bulunmaz. Geçişme, simetri ve ters simetri özellikleri bulunur.

 

Bağıntı Çeşitleri
Denklik Bağıntısı: Tanımlanan herhangi bir bağıntıda yansıma, simetri ve geçişme özeliğini sağlıyorsa, bu bağıntıya “Denklik Bağıntısı” denir.

 

Sıralama Bağıntısı: Tanımlanan herhangi bir bağıntıda yansıma, ters simetri, geçişme özeliği varsa bu bağıntıya “Sıralama Bağıntısı” denir.
• β, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olmak üzere (a, b) ∈ β ise a ve b elemanları β bağıntısına göre denktir denir ve “a≡ b” şeklinde gösterilir. A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine “a’nın denklik sınıfı” denir ve Üstü çizik a şeklinde gösterilir. a’nın denklik sınıfının kümesi;
Denk bağıntı

 

Paylaş