Bağıntılar ve Kartezyen Çarpım (Ders Notları)

Kartezyen Çarpım

İki objenin sıralı bir şekilde oluşturulup tek bir nesne olarak yazılmasına “Sıralı İkili” denir. x, sıralı ikilinin birinci nesnesi; y, ikinci nesnesi olsun. (x, y) sıralı ikilisi;
(x, y) = (z, c)  ise  x = z,  y = c’dir.

 

Kartezyen Çarpım
Herhangi iki küme tanımlansın. Sıralı ikilinin birinci bileşeni bu kümenin birinden, ikinci bileşeni diğer kümeden olmak üzere; oluşturulan sıralı ikiliye “Kartezyen Çarpım” denir. A ve B birer küme ve A ve B’den oluşturulan kartezyen çarpım “A x B” şeklinde gösterilir.
A x B = {(a, b)} ise  (a ∈ A)   ve   (b ∈ B)’dir.
A x Ø = Ø x A = Ø  (Yutan Eleman)
A x (B x C) = (A x B) x C  (Birleşme)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)  (Dağılma)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) (Dağılma)
s(A) = x,  s(B) = y  olmak üzere,  s(A x B) = x.y’dir.

 

Bağıntı
A ve B birer küme olsun, A x B kartezyen çarpımının bütün alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. “β (Beta)” işareti ile gösterilir.
s(A) = x,  s(B) = y olsun. A’dan B’ye  2xy  tane bağıntı tanımlanabilir.

Örnek: A = {8, 7}  B = {9, 4, 3}  olsun.   Burada A’dan B’ye;  23*2 = 26 = 64 tane bağıntı tanımlanabilir.

 

s(A) = m   ve  s(B) = n  olsun. A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r ≤ m . n) bağıntı sayısı;

Bağıntı 1

Bağıntının tersi tanımlanan bağıntıdaki elemanların yerleri değiştirilerek alınır. β ⊂ A x B olsun, β = {(a, b)} ve (a ∈ A)  ve  (b ∈ B) bağıntısının tersi  β-1 ⊂ B x A dır. β-1 = {(b, a)}‘dır.

Örnek: A = {1, 3},  B = {7, 9} olsun,  A x B = β = {(1, 7), (1, 9), (3, 7), (3, 9)},
Bu durumda,  β-1  = {(7, 1), (9, 1), (7, 3), (9, 3)}’dür.

 

Yansıma Özelliği: A bir küme, ve bütün a elemanları için (a, a) oluşturulan bağıntının elemanı ise, bu bağıntıya “Yansıyan Bağıntı” denir.
∀ a ∈ A olmak üzere, (a, a) ∈ β ise, β yansıyan bir bağıntıdır.

 

Simetri Özelliği: Bir bağıntının her (a, b) elemanları için (b, a) ‘da bu bağıntının elemanı ise bu bağıntıya “Simetrik Bağıntı” denir.
∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ise, β simetrik bir bağıntıdır.
• β simetrik ise, β = β-1 ‘dir ve grafiği de y = x doğrusuna simetriktir.

 

Ters Simetri Özelliği: a ≠ b olmak üzere ∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ise, β bağıntısına “Ters Simetrik Bağıntı” denir.
• Bağıntıda (a, a) elemanının bulunması ters simetrik olma durumunu etkilemez.

 

Geçişme Özelliği: A bir küme ve β, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olmak üzere; ∀[(a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β] için (a, c) ∈ β ise, bu bağıntı geçişme özelliğine sahiptir.
• A kümesi boş kümeden farklı ve A kümesinden tanımlanan β bağıntısı β = Ø bağıntısında yansıma özelliği bulunmaz. Geçişme, simetri ve ters simetri özellikleri bulunur.

 

Bağıntı Çeşitleri
Denklik Bağıntısı: Tanımlanan herhangi bir bağıntıda yansıma, simetri ve geçişme özeliğini sağlıyorsa, bu bağıntıya “Denklik Bağıntısı” denir.

 

Sıralama Bağıntısı: Tanımlanan herhangi bir bağıntıda yansıma, ters simetri, geçişme özeliği varsa bu bağıntıya “Sıralama Bağıntısı” denir.
• β, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olmak üzere (a, b) ∈ β ise a ve b elemanları β bağıntısına göre denktir denir ve “a≡ b” şeklinde gösterilir. A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine “a’nın denklik sınıfı” denir ve Üstü çizik a şeklinde gösterilir. a’nın denklik sınıfının kümesi;
Denk bağıntı

 

Paylaş