Diziler – Konu Anlatımı

Diziler – Konu Anlatımı

Diziler, olayların, nesnelerin veya herhangi bir şeyin sıralı listesidir. Kısaca, bir diziyi sıralı liste olarak adlandırabiliriz. Örnek olarak;

Çift Sayılar Listesi: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
Tek Sayılar Listesi: 1,3,5,7,9,11,… 

Ayrıca, özel olarak Fibonacci Dizisini örnek verebiliriz. Fibonacci Dizisinde, 0 ve 1’den başlayarak her sayı önceki iki sayının toplamından oluşur.

1,1,2,3,5,8,13,21,..

∀n ∈ N, ∀n ≥ 1  için f(n) =  a_n ‘dir. Ayrıca, diziler  “(a_n)” veya “{a_n}”  sembolleriyle gösterilebilir. {a_n} dizisinde  a_n  sayısı, dizinin n-inci terimidir.

 

Dizinin Sınırlılığı

∀n ≥ 1 için,  t ≤ a_n  olacak şekilde bir t ∈ R sayısı mevcut ise {a_n} dizisi t sayısı ile alttan sınırlıdır denir. Dolayısıyla, bu t reel sayısı {a_n} dizisinin bir alt sınırıdır. Aynı şekilde, ∀n ≥ 1  için,  a_n ≤ T  olacak şekilde bir  T ∈ R  sayısı mevcut ise, {a_n}  dizisi T sayısı ile üstten sınırlıdır denir. Dolayısıyla, bu T reel sayısı  {a_n}  dizisinin bir üst sınırıdır. Eğer  {a_n}  dizisi hem üstten hem de alttan sınırlı ise bu diziye, “sınırlı dizi” denir. 

 

Dizinin Yakınsaklığı

{a_n}  bir dizi olmak üzere,  ∀ε > 0  için,  n ≥ N  iken  |a_n – ℓ| < ε  olacak şekilde  bir N doğal sayısı mevcut ise  {a_n}  dizisi ℓ sayısına yakınsar. Dolayısıyla,  {a_n}  dizisi yakınsaktır denir. 

limitdiziler = ℓ

{a_n}  ve  {b_n}  sınırlı iki dizi ve c ∈ R olmak üzere;

• {a_n} + {b_n}  ve  {a_n} – {b_n}  dizileri sınırlıdır.
• {a_n}.{b_n}  dizisi sınırlıdır.
• c.{a_n}  dizisi sınırlıdır. 

NOT:

• Bir dizi sadece bir limite sahip olabilir.
• Her yakınsak dizi sınırlıdır. Ancak, her sınırlı dizi yakınsak olmayabilir.

 

Dizinin Iraksaklığı

{a_n} bir dizi olmak üzere, ∀M > 0 ve  M ∈ R için,  n ≥ N  iken  a_n > M  olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa,   {a_n}  dizisi +∞’a ıraksar denir. 

limitdiziler = +∞

Benzer olarak, {a_n} bir dizi olmak üzere, ∀M > 0 ve  M ∈ R  için, n ≥ N iken  a_n < -M  olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa,  {a_n}  dizisi -∞’a ıraksar denir. 

limitdiziler = -∞

TEOREM:
f : {x ∈ R : x ≥ 1} → R  olmak şartıyla, lim-Fx = ℓ  ve bütün n sayısı için  a_n = f(n) ise, limitdiziler = ℓ ‘dir.

 

Dizilerde Sıkıştırma Teoremi

Kabul edelim ki,  n ≥   iken  a_n ≤ b_nc_n  olacak şekilde bir N_k ∈ R vardır. Burada eğer,  {a_n}  ve  {c_n]  dizilerinin her ikisi de aynı sayıya yakınsıyorsa,  {b_n}  dizisi de aynı sayıya yakınsar. 

Ayrıca, bütün n sayısı için  |b_n| < c_n  olmak üzere;   lim-c_n = 0 ise,   lim-b_n = 0 olur.

TEOREM:
Eğer n → ∞ giderken  a_n → α  ve f, x=a’da da sürekli bir fonksiyon ise,   f(an)limit   ‘dir.

 

Monoton Dizi

Bütün n doğal sayısı için   a_n1 > a_n ise   {a_n}  dizisi artandır. Benzer şekilde, a_n > a_n1 ise,  {a_n}  dizisi azalandır. Eğer bir dizi daima artan ya da daima azalan ise “monoton dizi” adı verilir. 

TEOREM:
Eğer bir dizi, artan olup; üstten sınırlı ise ya da azalan olup; alttan sınırlı ise, bu dizi sonlu bir limite sahiptir. 

Yanıtla

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir