√2 Sayısının İrrasyonel Olduğunun İspatı

√2 Sayısının İrrasyonel Olduğunun İspatı

√2 Sayısının irrasyonel olduğunu ispatlayacağız, ancak bunu ispatlamadan önce Olmayana Ergi Yöntemiyle İspatın ne olduğunu hatırlayalım;

Olmayana ergi ispat yönteminde kanıtlanmak istenen önermenin yanlış olduğu kabul edilip, kabul edilen ifadenin bir çelişkiye vardığını göstermektir.  Buna göre, sonuç olarak yanlış olan duruma vardığımızdan dolayı verilen önerme doğru olmalıdır. 


İspatımız P olsun. 
Kabul edelim ki  ~P olsun;
Bu nedenle, C ∧ ~C olur. Sonuç olarak P önermesi doğrudur.


Şimdi √2 sayısının ispatına gelelim; 

Kabul edelim ki, √2 irrasyonel olmasın, dolayısıyla √2 sayısı rasyoneldir. O halde, √2 sayısı rasyonel ise;   Kök2irrasyonel1   olacak şekilde   a   ve   b   ∈  Z  vardır. Burada    Kök2irrasyonel2   kesri en sade şeklinde olsun. Buna göre   a   ve   b   aynı anda çift olamaz. Çünkü aynı anda çift olsalardı pay ve paydadaki 2 çarpanlarını sadeleştirebilirdik.  Şimdi   Kök2irrasyonel1   ifadesinde her iki tarafın karesini alalım;  Kök2irrasyonel3  olur ve buradan da;   Kök2irrasyonel4    elde edilir.  Burada ise,   Kök2irrasyonel5   çift ise   a   çifttir (Burada bunu dolaylı ispat ile kolayca ispatlayabilirsiniz, ben buna değinmeyeceğim). Buna göre,   a   ve   b   aynı anda çift olmadığı için   b   tek olmalıdır. Şimdi,  a  çift olduğu için   a = 2c   olacak şekilde bir c ∈ Z vardır. Burada   a‘yı    Kök2irrasyonel4    bu ifadede yerine   2c   olarak yazarsak;  Kök2irrasyonel6    yani   Kök2irrasyonel7   bulunur. Böylece,   Kök2irrasyonel8    elde edilir. Buradan sonuç olarak,   Kök2irrasyonel9   ve dolayısıyla da   b   tam sayılarının çift olması anlamına gelir. Ancak daha önceden de   b   tam sayısının tek olduğu sonucuna varmıştık. Dolayısıyla bu ise bir çelişkidir. Yani,   b   çifttir ve   b   tektir çelişkisi elde etmiş olduk. Bu nedenle √2  sayısı irrasyoneldir.  

Yorum Yaz

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir